с какими сторонами может существовать треугольник

Существующие треугольники

Определение

Существующие треугольники — это такие треугольники,
существование которых можно доказать с помощью неравенств.

treugolnik e1590066177352
Например существование треугольника, изображенного на рисунке 1,
можно доказать с помощью неравенств: AB + BC > AC, AC + BC > AB, AB + AC > BC
Если эти три неравенства истинны значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Также существование того или иного треугольника можно проверить с
помощью одного условия: Если большая сторона треугольника меньше
суммы двух других сторон, значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Теорема

Для доказательства того, о чем мы говорили существует теорема под названием неравенство треугольника. Формулировка теоремы:
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Докажем, что каждая сторона треугольника, изображенного на рисунке 2, меньше суммы двух других сторон:

Доказательство теоремы

suschestvuyuschie treugolniki e1590068673472

Источник

treugolnik so storonami

Многоугольник с тремя сторонами

Прежде чем рассматривать задачу о том, как проверить, существует ли треугольник, следует подробно изучить эту фигуру. Согласно общепринятому определению, любой замкнутый многоугольник на плоскости, который состоит из трех отрезков, пересекающихся своими концами друг с другом, является треугольником. Эта фигура имеет две группы образующих ее элементов:

mnogougolniki

Сторонами являются три отрезка, длины которых могут быть либо известны по условию задачи, либо их предстоит рассчитать. Касательно вершин следует сказать, что у любого рассматриваемого многоугольника их три. Каждую принято обозначать одной латинской буквой, например, A, B, C и так далее. Поскольку два отрезка пересекаются в вершине, то они образуют некоторый угол. Их у фигуры три, поэтому становится понятным, откуда происходит название «треугольник».

Типы фигуры

Их классификация является достаточно развитой. В ее основу положены принципы взаимоотношения длин сторон друг с другом, а также численные значения углов. В общем случае в геометрии рассматривают следующие типы треугольников:

ravnobedrennyy treugolnik

Два основных свойства

В некоторых геометрических задачах можно встретить проблемы, которые формулируются так: можно ли построить треугольник со сторонами a, b, c, если известны их длины. Либо другой тип задач, которые предполагают знание некоторых сторон и углов, и требуют определить возможность существования такой фигуры.

Ответ на все эти проблемы заключается всего в одном слове: либо «да» и такой треугольник действительно существует, либо «нет» и из заданных элементов его построить не представляется возможным. Разобраться со всеми этими задачами поможет знание двух главных свойств, которые всегда справедливы для треугольников любых типов:

kakimi mogut storony treugolnika

Оба свойства с успехом можно и необходимо применять, чтобы проверить или узнать возможность существования того или иного треугольника. Важно понимать, что невыполнение любого из свойств говорит о невозможности построения рассматриваемой фигуры.

treugolnik so storonami

Вопрос вырождения

В свете изучения возможности существования треугольников важно рассмотреть вопрос их вырождения. В математике придумали универсальную формулу, которая позволяет оценить качество треугольника. Она имеет вид:

Каждый из трех множителей числителя является положительным числом, что следует из главного свойства треугольников. Величина качества CT является положительной и лежит в пределах значений 0 и 1. Возможны следующие случаи:

suschestvuet treugolnik

Теорема косинусов

Чтобы решать задачи на треугольники, недостаточно знать лишь главные их свойства. Последние позволяют лишь дать качественный, но не количественный ответ. Теорем и формул для рассматриваемых многоугольников известно много (синусов, Пифагора, медиан, Герона и др.). Однако, теорема косинусов является одной из основополагающих, поскольку позволяет по двум сторонам и углу определить значение длины третьей стороны (справедливости ради следует отметить, что теорема синусов является не менее важной, поскольку она по двум углам и стороне позволяет вычислить неизвестные стороны).

Соответствующее выражение имеет следующий вид:

c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cos (α).

suschestvuet treugolnik

Решение задач

Для закрепления полученных знаний полезно привести пару примеров решения типичных геометрических задач с треугольниками, в которых нужно будет либо дать качественный ответ, либо получить некоторое количественное значение.

Первая задача требует получить качественный ответ. Пусть имеется треугольник со сторонами 1, 2, 4. Существует ли такая фигура, требуется выяснить.

proverit suschestvuet treugolnik

Для решения этой проблемы абсолютно неважно измеряются стороны в метрах, в сантиметрах, в дюймах или в других величинах. Важно лишь взаимоотношение между ними. Для каждой из длин отрезков следует проверить свойство существования рассматриваемой фигуры. Если получится хотя бы одна ложь, то треугольник построить нельзя:

Таким образом, для определения возможности существования того или иного треугольника на плоскости необходимо проверить тот факт, что каждая из его сторон имеет меньшую длину, чем сумма двух других отрезков. Теорема косинусов является удобным инструментом для определения количественных характеристик рассматриваемого типа фигур.

Источник

Какими могут быть стороны треугольника

1) Существует ли треугольник со сторонами

б) 7 см, 10 см, 12 см?

Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Проверяем, выполнено ли это условие для каждого отрезка. Для задачи а):

quicklatex.com b5da828d7fb086ef4a4afe13beefa319 l3

quicklatex.com f504e346315bfbd409c349290397c075 l3

quicklatex.com 35807ac1e4b77d13d9e904c85cb544f9 l3

Третье неравенство неверно, следовательно, треугольника со сторонами 1 см, 2 см и 3 см не существует.

quicklatex.com e76792fd71dbb6b7bad3a48772d80e32 l3

quicklatex.com 2477bc5a8dc5b776e4c4b9b92800a436 l3

quicklatex.com d538924579da5082eb0e9b615c8f45d9 l3

Все три условия выполнены, значит, треугольник со сторонами 7 см, 10 см и 12 см существует.

2) Можно ли построить треугольник со сторонами 3 см, 4 см, 8 см?

Проверяем, выполняется ли неравенство треугольника для каждого из отрезков:

quicklatex.com 593fbb261febed00f4a2abf7b0805258 l3

quicklatex.com 794658885469f1ecb4b4e1155218474f l3

quicklatex.com 2447eadc1fe33ca79632212816b53c58 l3

Последнее неравенство не выполнено, поэтому треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 8 см построить нельзя.

3) Какими могут быть стороны треугольника:

б) 11 дм, 15 дм, 30 дм?

Проверяем выполнение неравенства треугольника для каждой тройки отрезков:

quicklatex.com 548e71d590ce868dc9722c87f90d655a l3

Все три неравенства верны, следовательно, стороны треугольника могут быть равными 5 м, 7 м и10 м.

quicklatex.com 37007d39b671af60add74f876e7a4d1a l3

Третье неравенство не является верным, значит, стороны треугольника не могут быть равными 11 дм, 15 дм и 30 дм.

Источник

Треугольник

Треугольник произвольный

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников :+ показать

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).

lo1

Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.

p1

Свойства

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним: quicklatex.com 54ece3d545ee8b0c5dedfcf8e8f33c9a l3

(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).

mn1

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.

ch

o4

3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.

ozh

Биссектриса, высота, медиана

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

iu1

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

quicklatex.com 6a45538a69f9dc99411c7dd646e1b85b l3

Snimok e%60krana 2013 07 29 v 19.07.59

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

quicklatex.com 95281898442688cfcb7594de8f5e8404 l3

d4

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема косинусов: quicklatex.com d423f7ef9dd38da13558f093a4ceddac l3

f5

Теорема синусов: quicklatex.com 3601e17950e4eb4900d574158f9b7462 l3

d5

Площадь треугольника

lk2Через сторону и высоту

quicklatex.com fc5de19790cc162d7217973efe8178e8 l3

Через две стороны и угол между ними

quicklatex.com 1a6c1fd6435dd1d2084b31aa17629abc l3

Через радиус описанной окружности

quicklatex.com 01f0431f71379dbffc8df174ffb1eaaa l3

Через радиус вписанной окружности

quicklatex.com 1871868b47833d3dc10a9d3af3bdb704 l3, где quicklatex.com fee63e713efdace146db794ceab681cc l3– полупериметр

quicklatex.com a3929d88701089d32779af4a5c501070 l3, где quicklatex.com fee63e713efdace146db794ceab681cc l3– полупериметр

7

Смотрите также площадь треугольника здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉

Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!

В разделе свойства: quicklatex.com f9c3eecf7275b77e60d656a899403a75 l3

Да, не хватало значка «quicklatex.com 98e2b7fff4a228a30ab25226395bb5f7 l3» у А. Спасибо! 😉

Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.

Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении quicklatex.com 26c7af5d679640252001a0a466ebce3a l3, то выходим на уравнение quicklatex.com 83099063f5aaca4126fa93ca85065d79 l3Откуда quicklatex.com 9e1241b64584baf6e0b671794348e20b l3Значит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть quicklatex.com 127a3b451b36e3218dc997c47d19ac09 l3
Применяем теорему синусов: quicklatex.com dc91c0fd14a1ff316d31d185c6979669 l3, откуда quicklatex.com a48d5ca080bb96229f8a583ef50c1648 l3

спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!

Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3

Очевидно, quicklatex.com 79e408fdba5b7f9ab82e4a7046601c99 l3
Примите quicklatex.com a3630d765dc413ba13fd04d4f411e6d1 l3за quicklatex.com 1d408a76033f3b2b724c5693fb066bde l3.
Примените к треугольнику quicklatex.com dea7567d9acea4220e983f82e25a34a4 l3теорему косинусов:
quicklatex.com 714471503bd56fe22b4296b3b941e48f l3
Найдете quicklatex.com 1d408a76033f3b2b724c5693fb066bde l3, далее можно найти угол quicklatex.com e815f27c0cb188cf719e4e013c0c4adf l3и из треугольника quicklatex.com 8e4b924c35bfe28992a0c951dd29899c l3найти quicklatex.com dc4b09bb59e61706208d344533075d6c l3

Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно

Источник

Треугольник — определение и основные свойства и виды треугольника

Что такое треугольник знают дети уже в самом младшем возрасте, они умеют находить треугольник среди множества геометрических фигур. Но вот уже в школе по геометрии проходят треугольник и надо не просто узнавать треугольник, но и дать определение этому понятию.

Определение треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, окруженная тремя отрезками прямой (конечные точки каждых двух смежных отрезков соединены или перекрываются), называется треугольником. Точки пересечения отрезков называются вершинами треугольника, а сами отрезки между двумя соседними вершинами треугольника называются сторонами треугольника.

Посмотрите на треугольник на рисунке.

treugolnik avs

У него три вершины — quicklatex.com dc138e62447b66d86f28a4c7cb2cf113 l3, quicklatex.com 26ecb299b39c6c362d2e1621fa52acfb l3, quicklatex.com 9fb5e3502df0924fd5bea048b067b50c l3и три стороны quicklatex.com 080e05a5d9ed81d0ebbd507cfe762dd7 l3, quicklatex.com 3741b07f11a3eb679961cc0879c70841 l3и quicklatex.com 88e67630eb28ffbdae12a70f4d176e16 l3. У каждого треугольника есть имя — это имя образовано вершинами треугольника. Наш треугольник зовут quicklatex.com 3130b78b151c553c7b29adafec141685 l3([а-бэ-цэ]). А треугольник на вот этом рисунке

treugolnik mnk

будут звать quicklatex.com a2e7f5d36c416382bc588155b9b30946 l3([эм-эн-ка]).

По правилам математической грамотности треугольник, как и любой другой многоугольник, следует называть, начиная с левого нижнего угла и называя все вершины по часовой стрелке.

В треугольнике можно провести особенные стороны — высоту, медиану и биссектрису. Начнем с высоты треугольника.

Высота треугольника

В каждом треугольнике можно провести три высоты. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую этой вершине сторону.

Например, в треугольнике quicklatex.com 3130b78b151c553c7b29adafec141685 l3, высотой будет отрезок quicklatex.com 68206b0a3fe4506cd2288885b0a349ac l3.

vysota ah v treugolnike

А теперь проведем из каждой вершины по высоте — получим три высоты — больше провести высот нельзя.

vysoty v treugolnike

В этом треугольнике три высоты quicklatex.com 6961a3ea7feae58cab2fd996d03a88e4 l3, quicklatex.com 68206b0a3fe4506cd2288885b0a349ac l3, quicklatex.com 09779e98eb769a15c9e19fcc7039831e l3.

Про биссектрисы и медианы поговорим в других статьях. Сейчас же давайте с вами рассмотрим каким бывает треугольник.

Виды треугольника

Виды треугольника могут быть по углам и по сторонам. То есть в первом случае вид треугольника зависит от того, какие в этом треугольнике углы, а во втором случае — какие в этом треугольнике стороны.

Виды треугольников по углам

В зависимости от того, все ли углы в треугольнике острые или есть тупой угол или угол, равный quicklatex.com 5c622d4054b7d73d3ed40a78dfa8ff6d l3, треугольник бывает остроугольным, тупоугольным или прямоугольным.

Посмотрите на рисунки — перед вами три основных вида треугольника:

ostrougolnyj treugolnik

tupougolnyj treugolnik

pryamougolnyj treugolnik

Виды треугольников по сторонам

Если у треугольника все стороны равны, то такой треугольник называют равносторонним или правильным. Если у треугольника равны только две стороны, то такой треугольник называют равнобедренным.

На рисунке показаны равносторонний и равнобедренный треугольники.

ravnostoronnij treugolnik

ravnobedrennyj treugolnik

Свойства сторон треугольника

Треугольник имеет важные свойства и характеристики.

Устойчивость — это важное свойство треугольника, оно вам еще пригодится в курсе физики. Но вначале мы с ним знакомимся на уроках геометрии.

Треугольник устойчив на любой своей стороне — то есть чтобы вывести его из состояния равновесия надо приложить силу.

Свойства сторон: разница между любыми двумя сторонами треугольника меньше, чем третья сторона, а также любая сторона треугольника меньше, чем сумма двух других сторон. То есть: quicklatex.com 1f9cdbe00784109ddd0b57db93622f94 l3

Например, пусть наш треугольник имеет длины двух сторон quicklatex.com 16224b793f87d23c8f1a18f9846819f3 l3, а quicklatex.com 4f69164bf4fd4544a122fe70fc64a6ab l3см. В каком диапазоне будет размер третьей стороны треугольника?

Решение: согласно свойству сторон треугольника, получим:

quicklatex.com 164877d3d2822305d366b3128d98dc94 l3

Таким образом, третья сторона треугольника может быть в диапазоне от 4 до 10 см. Или в целых числах ее длина может быть 5, 6, 7, 8 или 9 см.

Правило существования треугольника

Используя свойство сторон треугольника мы можем определить существует ли треугольник с определенными сторонами.

Для проверки сложите длины самых коротких сторон и если сумма их больше длины самой большой стороны, тогда треугольник существует.

Например, существует ли треугольник с длинами сторон 3, 7 и 15 см?

Решение: проверим по свойству сторон треугольника: складываем две самые короткие стороны 3 и 7 см: 3+7=10, а 10 7 — треугольник с такими длинами сторон существует.

Свойство углов в треугольнике

Сумма всех углов в треугольнике равна quicklatex.com caef5e2cb43422f2f96f7c4b0764e440 l3.

Согласно этому свойству мы всегда можем, зная два угла в треугольнике, найти его третий угол. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов всегда равна quicklatex.com 5c622d4054b7d73d3ed40a78dfa8ff6d l3.

Например, пусть известно, что в треугольнике quicklatex.com 3130b78b151c553c7b29adafec141685 l3, quicklatex.com 133598ebdca82bdaac0beffea72850b3 l3, quicklatex.com 2d30a3d2bb790662458b3f21c7bc4075 l3, нужно найти quicklatex.com 563bd30c372a0b4ee20db62121af3a01 l3.

ugly v treugolnike

Так как сумма углов в треугольнике равна quicklatex.com caef5e2cb43422f2f96f7c4b0764e440 l3, то находим:

quicklatex.com 1460608a9f1230cb02f21a817ea794a2 l3.

Ответ: quicklatex.com bbd82bfb213541cf9c834156ac642bf6 l3.

Элементы композиции

Многие школьники спрашивают — а зачем нам знать про треугольник, как это может пригодиться в обычной жизни? Треугольник — простая фигура из которой можно составить более сложные. Это используется во многих сферах жизни, например, вы можете эргономично убирать в своей комнате, или красиво выкладывать бутерброды. Например, из двух равных треугольников можно составить параллелограмм.

trapecziya iz treugolnikov

А из двух равных прямоугольных треугольником — прямоугольник или квадрат. Два треугольника могут образовать трапецию, так как на рисунке. А вот какую фигурку можно смоделировать для программируемой игры — она вся сделана из треугольников:

figura iz treugolnikov

Мы, рассмотрели самые важные свойства треугольника, и в дальнейшем изучим еще больше разных интересных свойств, закономерностей. Несмотря на свою простоту, треугольник таит в себе много загадок и открытий.

Источник

Оцените статью
Самые лучшие ответы на вопрос "Какой"
Adblock
detector